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013--Floyd算法-动态规划-《算法设计技巧与分析》M.H.A学习笔记

来源：程序员人生发布时间：2016-07-07 13:57:46 阅读次数：2112次

多源最短路：有向图，求从每一个顶点到其他所有顶点的最短距离。

假定有向图的所有点编号为1到n，l[i,j]表示从i到j的边的长度，如果不存在边，则置为正无穷。

定义d(k,i,j)表示从点i到点j，并且不经过编号大于k的点的最短距离。

K=0时，d(0,i,j)=l[i,j]。

d(k,i,j)=min{ d(k⑴,i,j)，d(k⑴,i,k)+d(k⑴,k,j) } 1<=k<=n

因而我们有以下的递归式：

明显，Floyd算法的时间复杂度是Θ(n³)，空间复杂度是Θ(n²)。

for( int k = 1; k <= n; ++k ) for( int i = 1; i <= n; ++i ) for( int j = 1; j <= n; ++j ) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);

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